本文为人工撰写，仅使用生成式AI校对。

题目链接

题目附件ez_det.py:

from random import randrange
from Crypto.Util.number import *
from sage.all import*
from secret import flag


m_blocks = [bytes_to_long(flag), 0, 0, 0, 0]
p = getPrime(128)

def make_mask(n, p):
    upper = identity_matrix(n)
    low   = identity_matrix(n)
    for i in range(n-1):
        for j in range(i+1, n):
            upper[i, j] = randrange(1, p)
            low[j, i]   = randrange(1, p)
    result = upper * low
    assert det(result) == 1
    return result

def matrix_to_list(mat):
    return [list(row) for row in mat]

Noise = [[randrange(1, p) for _ in range(5)] for _ in range(4)]
Noise.append(m_blocks)

M = matrix(Noise)
A = make_mask(5, p)
C = A * M

print(f"Noise1={Noise[:4]}")
print(f"C={matrix_to_list(C)}")

'''
Noise1=[[188812369255757304700348466434858375423, 76227193101418053889793512137074274620, 182929943832562556837712357618449460966, 64089028822730485232228634757000880362, 105507998932915134646335608660824492778], [4164794451584365777414445214789654548, 218757364601017507642266976969178375594, 80900478205358595781985716970856912691, 8764894144288116721496194715688099729, 79843254020740598090548214477874901303], [117987853743114490372656147763454194438, 50462363711517823694719231238846607862, 223281008935308694936858040719274425965, 195686161149314741102381604090940280685, 255190262449767615741787613735615935193], [307996560867129103907440061301439467482, 244201634915439060595306901855401348278, 274311101173570181270086450310341285623, 107302772162122998219258251480409135045, 315856112749570024634898328181978603678]]
C=[[7549095046255750332237801728336040859334772097519102730041282718732588591286097116869332416391022019738347242276278766698156906555705385851, 32678071039005558259592443246596641034769961322822499350366597948506472312915956551829187426906905768184753514179380, 31986323782328762703818368292112429682487091705728337251517881966706448578725743041694735758215711997792479769768416, 14436850250809986882782230577460631764129797817847230901081280722327130562429243257968190463942277773451746453462582, 31121292454052422843719847188102625117398366197500933959853889186763173066605507892602645982827425901283104778292221], [7706938594218644198645262655888361646573462940640081908275744852516151826239618763929906370800935778758096453251327285086629846779468981315, 26330878424043569869214392883993117044708778826827450051713283720472446757085846592062228494046203274166331743213602, 24857177273083291760656086063531873337958479151212324100479828413230261594714770234719748627881602969003382340380303, 10701204334950696222836110814413459387113860196518011873575984392967690319665313155329101129794370494393952679549077, 24572394800395786579595451015986631185722061305759568372474188631404251754512686224709746129129276120602728383257777], [11413455295705082653945547551313333546335036834235413197142176083174466031786153627000022789417263202077931290945822526991594782041300524125, 25471180545905160889030953371219380924922739584058682948172053287466750144384688090173028639859506036824244304812158, 23570951485381148259743320056649061955890256395181599806489281180362961403987830105788981766739476950908584368018627, 8841273587596585448471713556252655344096448791123375053031642275508541897721478004315380581332333817343578483340851, 23502822195946748272231324934092148411160563639610181086553014413960808728166902969170101670012466997233946213819590], [7421950296415236255036285581661337216129672288628712160389173037334393744768886600555189991422762979394744362636715364094486754236805831283, 16457769281700732267826820071355765748300396519230181861693252076848397846956971602019313162032913030284068627192114, 15232356277146271770603816377269797778450646710986085702474591663364338830922301462505542520099289082804882409151229, 5693502364474910323896757819607564638117454538178679511671477570223524538553118891790661947619622326354006014535725, 15181756068875350357539670338144919822125852732174677771977932249778796486753690167705637589507167437374977859311864], [59840522766444025407946425909283435223280191210362668490197896687634499232220940811715879746607366608, 132693089828716473864848325625146553043330396013143903078592425572668035653388, 122813024364958858827663640077111626536436424651790581462109994081368873477982, 45904667136712185617747319952029678281659955585596441487265034839694031397236, 122405053037464876158961757478015519072596230291468407215303518565294845901638]]
'''

注意到 make_mask() 生成的矩阵 AA 满足 det⁡(A)=1\det(A)=1，同时矩阵 MM 中仅有一个未知元素 xx。

根据行列式的乘法性质：

det⁡(AM)=det⁡(A)det⁡(M) \det(AM)=\det(A)\det(M)

又因为 det⁡(A)=1\det(A)=1，所以：

det⁡(AM)=det⁡(M) \det(AM)=\det(M)

因此可以得到关于 xx 的方程 det⁡(M)=det⁡(AM)\det(M)=\det(AM)，从而解出 xx。

脚本:

from sympy import Matrix, symbols, solve
from Crypto.Util.number import long_to_bytes


x = symbols('x')

M = Matrix([[188812369255757304700348466434858375423, 76227193101418053889793512137074274620, 182929943832562556837712357618449460966, 64089028822730485232228634757000880362, 105507998932915134646335608660824492778],
            [4164794451584365777414445214789654548, 218757364601017507642266976969178375594, 80900478205358595781985716970856912691, 8764894144288116721496194715688099729, 79843254020740598090548214477874901303],
            [117987853743114490372656147763454194438, 50462363711517823694719231238846607862, 223281008935308694936858040719274425965, 195686161149314741102381604090940280685, 255190262449767615741787613735615935193],
            [307996560867129103907440061301439467482, 244201634915439060595306901855401348278, 274311101173570181270086450310341285623, 107302772162122998219258251480409135045, 315856112749570024634898328181978603678],
            [x, 0, 0, 0, 0]])


C = Matrix([[7549095046255750332237801728336040859334772097519102730041282718732588591286097116869332416391022019738347242276278766698156906555705385851, 32678071039005558259592443246596641034769961322822499350366597948506472312915956551829187426906905768184753514179380, 31986323782328762703818368292112429682487091705728337251517881966706448578725743041694735758215711997792479769768416, 14436850250809986882782230577460631764129797817847230901081280722327130562429243257968190463942277773451746453462582, 31121292454052422843719847188102625117398366197500933959853889186763173066605507892602645982827425901283104778292221], [7706938594218644198645262655888361646573462940640081908275744852516151826239618763929906370800935778758096453251327285086629846779468981315, 26330878424043569869214392883993117044708778826827450051713283720472446757085846592062228494046203274166331743213602, 24857177273083291760656086063531873337958479151212324100479828413230261594714770234719748627881602969003382340380303, 10701204334950696222836110814413459387113860196518011873575984392967690319665313155329101129794370494393952679549077, 24572394800395786579595451015986631185722061305759568372474188631404251754512686224709746129129276120602728383257777], [11413455295705082653945547551313333546335036834235413197142176083174466031786153627000022789417263202077931290945822526991594782041300524125, 25471180545905160889030953371219380924922739584058682948172053287466750144384688090173028639859506036824244304812158, 23570951485381148259743320056649061955890256395181599806489281180362961403987830105788981766739476950908584368018627, 8841273587596585448471713556252655344096448791123375053031642275508541897721478004315380581332333817343578483340851, 23502822195946748272231324934092148411160563639610181086553014413960808728166902969170101670012466997233946213819590], [7421950296415236255036285581661337216129672288628712160389173037334393744768886600555189991422762979394744362636715364094486754236805831283, 16457769281700732267826820071355765748300396519230181861693252076848397846956971602019313162032913030284068627192114, 15232356277146271770603816377269797778450646710986085702474591663364338830922301462505542520099289082804882409151229, 5693502364474910323896757819607564638117454538178679511671477570223524538553118891790661947619622326354006014535725, 15181756068875350357539670338144919822125852732174677771977932249778796486753690167705637589507167437374977859311864], [59840522766444025407946425909283435223280191210362668490197896687634499232220940811715879746607366608, 132693089828716473864848325625146553043330396013143903078592425572668035653388, 122813024364958858827663640077111626536436424651790581462109994081368873477982, 45904667136712185617747319952029678281659955585596441487265034839694031397236, 122405053037464876158961757478015519072596230291468407215303518565294845901638]])

print(C.det())

eq = M.det() - C.det()

res = solve(eq, x)

print(res)
print(long_to_bytes(res[0]))

输出:

-2396755887190283529984000318128425438929906095794068995514762804227517423935626350627790102884583844733613541934703491858893622567232060845043321892521782104984062134989079225528370712759151435676975089229136892779743256061226336184852763725315998
8692336
[59840522766444025407946323066034519223486498364886994999928047602858728175387897325939967352292712829]
b'moectf{THIS_IS_FLAG}'